有限数学示例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ 写为等式。

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log (4 y)$ 。

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

解题步骤 3.3.1.2.2

重写表达式。

$\log (4 y) = 2 x$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\log (4 y) = 2 x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{2 x} = 4 y$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $4 y = 10^{2 x}$ 。

$4 y = 10^{2 x}$

解题步骤 3.5.2

将 $4 y = 10^{2 x}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $4 y = 10^{2 x}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

解题步骤 5.2.3.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

解题步骤 5.2.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $1 \cdot \log (4 x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.3.4

化简。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ 。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

解题步骤 5.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

解题步骤 5.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

解题步骤 5.3.4

使用对数规则把 $2 x$ 移到指数外部。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

解题步骤 5.3.5

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

解题步骤 5.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 5.3.7.3

重写表达式。

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

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